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Carlos Augusto Hernández*, José Granés S.**

 

Nuestra conversación con el profesor Federici dura ya veinte años, aunque a lo largo de ese tiempo se ha interrumpido muchas veces por diferentes circunstancias. Todos hemos cambiado a través de este diálogo prolongado que afortunadamente continúa. También el profesor, cuya disposición a aprender no se debilita nunca. Federici es atento y flexible, con una curiosidad enorme por la naturaleza humana (y por tanto por el conocimiento, la ética, el arte y la educación) y conserva intacta la capacidad de emocionarse con sus descubrimientos. Es por ello que, quienes compartimos con él, seguimos reconociéndolo como el maestro: la actitud de Federici ante el conocimiento es para nosotros la más valiosa de las enseñanzas que hemos recibido de él. Hace mucho tiempo, cuando comenzamos el trabajo en el “Grupo Federici”, pensábamos de modo muy diferente sobre los temas que discutíamos. El profesor nos daba en aquel tiempo unas maravillosas lecciones de tolerancia. Ahora nos hemos acercado, como tenía que ocurrir, pero el diálogo sigue siendo muy rico por las diferencias entre los matices y las experiencias. La entrevista que se leerá a continuación reúne los últimos diálogos en una síntesis muy apretada de muchas horas de grabación llenas de digresiones interesantes y de expresiones de entusiasmo que ponen en evidencia el placer de la conversación, pero que aquí no pueden aparecer. No pretendemos entonces mostrar la riqueza efectiva del diálogo y, mucho menos trazar un panorama de las inquietudes del profesor Federici, sino aproximarnos a algunas de sus preocupaciones tratando de respetar el modo como él mismo las formula en el espacio flexible del intercambio de ideas que la amistad hace posible. Carlos Augusto Hernández/José Granés S. Profesor Federici, en nuestras últimas conversaciones hemos tocado un tema que actualmente parece ser de gran interés para usted. Es el tema del ser y el deber ser. Podríamos comenzar hablando de la relación de este tema con lo que ha sido la preocupación constante del Profesor: la educación. La discusión sobre el deber ser es una tarea que debe asumir la escuela y, en particular, la universidad.

C.F. El hombre es un ser abierto y esto debe ser considerado por la universidad. Debemos pensar que el cambio es ineluctable en el hombre, por definición, por naturaleza, y que, por tanto, la dirección de ese cambio debe ser pensada. Prever y pensar el cambio; esto es lo que se debería hacer en la Universidad.

Se podría pensar entonces que la Universidad es el espacio en el cual se piensa en ese deber ser y en el cambio. Pero la pregunta es ¿qué pasa con la democracia? Porque cabría derivar de aquí la idea de que el futuro de la colectividad debe ser pensado por unos pocos...

C.F. Habría precisamente que considerar la palabra, porque finalmente el demo entrega en la mano de cientos de hombres todo lo que el pueblo debería decir. Es decir, nunca el pueblo ha hablado. Este es el problema de la democracia representativa. Pero si educamos al pueblo y le damos lo que es conveniente para vivir y pensar como unión de personas y como comunidad, no importa mucho si no quiere hablar de democracia pero vive como comunidad y, sin ser filósofo, sabe que habría que hacer esto y esto otro. Se puede hablar de la leche desde el punto de vista filosófico y no sólo desde el punto de vista de la higiene o la salud. Y el acuerdo sobre la importancia de la leche y el cuidado de los niños no es sólo cosa de higiene y salud. Es decir, la construcción de una sociedad empieza por la salud que puede dar la educación, por la salud del espíritu. No creo que haya otra cosa más importante que pensar en la salud del otro. Si se comienza por aprender esto nadie va a reclamar más de lo que debe.

Se podría decir entonces, volviendo a los conceptos de inmanencia y trascendencia que una vez discutimos, que la sociedad tal como es requiere de una elite que piense, pero que esa elite debería pensar, como parte de la sociedad, en la sociedad que debiera ser. En esa sociedad deseable no habría esa elite dedicada a pensar por otros, sino una comunidad capaz de pensar. Se trataría de pensar en la propia condición y en el propio contexto para pensar en la trascendencia. Así, en la máxima abstracción, uno se obliga a pensar en lo concreto, reconocer el proyecto trascendente depende de lo que se es ahora. Podemos volver a una reflexión que el profesor ha hecho recientemente sobre los deberes y los derechos, es decir, pensar el modo como los derechos están vinculados esencialmente a los deberes.

C.F. Volviendo a los orígenes de la especie, existe un sujeto, digamos la mujer, la hembra humana, que necesita de una ayuda. Se la debe dar otro sujeto, digamos el hombre. El hombre puede dársela o no. Entonces hay un sujeto número uno, un sujeto número dos y una necesidad. Aparece entonces un sujeto número tres que es el juez y que le dice al hombre: “Usted le debe dar esto a la mujer”: Aquí aparece la justicia. Es decir, la justicia aparece en vista de necesidades que uno no puede satisfacer, cuando se necesita uno distinto que las satisfaga. Entonces es necesario que haya un juez que obligue a satisfacer la necesidad cuando quien debe hacerlo no sea lo bastante educado para asumirlo como su responsabilidad. En este sentido del término, la justicia debería ser algo que está allí como garantía para que se ejecute de todas formas lo que debería darse sin ninguna coacción externa. Pero la educación debería asegurar que la necesidad pudiera satisfacerse sin aparecer como una obligación.

Parte importante del trabajo pedagógico que realiza el profesor se hace a través del diálogo. Esta misma conversación puede ser pensada como un trabajo pedagógico.

C.F. El profesor habla pero está en un diálogo y, entonces, lo que yo digo al principio puede ser distinto de lo que digo al final. Después del diálogo ya pienso en forma diferente. Creo que no es tanto el pensar mío como el diálogo lo que se debe poner en evidencia. Se piensa mucho, pero en el pensar mucho, se piensa con otros y entonces cada uno se vuelve nosotros. Y esa es la única manera de hablar de comunidad, de sociedad y de pedagogía.

Cada uno de los participantes se transforma en el diálogo. La pregunta es si algo parecido no ocurre también en la pedagogía, si lo esencial en la acción educativa no es precisamente inducir transformaciones a través de la comunicación.

C.F. El pedagogo debe desequilibrar al alumno para luego hacer que él mismo se equilibre. Esta es la dificultad de la pedagogía. Yo, como educador debo desequilibrarlo en el diálogo. Debo hacerlo porque de lo contrario no estará en condiciones de aceptar lo nuevo. Debo hacerlo dudar sobre lo que él piensa y cuando está sumergido en la duda abrirle un camino para que él mismo se rectifique. Hay un término piagetiano que indica algo parecido: “equilibración”. El hombre es un animal desequilibrado, no tiene cuatro patas, tiene solo dos; entonces camina como un borracho y a cada momento debe adquirir la rectitud, este es el problema de la educación.

De lo que se trataría finalmente es de buscar desequilibrar, cuando ya se ha logrado un equilibrio. Entonces la pedagogía no terminaría nunca.

C.F. La pedagogía no termina y uno no termina de ser alumno. Sí. Precisamente sobre esto algunos estudiantes de la Universidad Nacional me plantearon hace unos días un problema tremendo. Un profesor les habló de que existen tribus o grupos que están tan determinados que ya no pueden cambiar. ¿Cómo puede ser esto posible? Entonces, según ese planteamiento, lo que habría hecho la civilización occidental es mantener al hombre en desequilibrio con el problema moral de propender en cada momento al equilibrio. Es decir, nosotros somos seres abiertos-cerrados, no simplemente abiertos.

Y podría pensarse que esas sociedades que parecen completamente cerradas, esas sociedades que parece que no aprenden, sólo lo parecen. Las diferencias entre el mito como algo terminado y la ciencia como algo abierto son diferencias aparentes; el mito tiene una historia y se transforma también.

C.F. Pero tiene una transformación lenta, quizás a veces demasiado lenta. Y estamos otra vez en la cuestión griega de Epimeteo y de Prometeo. La sociedad humana es epimeteica, es decir, que vive en el pasado y es también prometeica porque está lanzada al porvenir; entonces el mito griego ya lo ha dicho todo.

Hay dos nociones de equilibrio que estamos manejando en esta conversación. Una es la noción de equilibrio del sujeto que conoce y que en su experiencia vital encuentra contradicciones que no se acomodan a su estructura de conocimiento y, para hablar en los términos de Piaget, necesita re-equilibrarse mediante una transformación de la estructura mental. La otra es el desequilibrio entre el profesor y el estudiante que están en comunicación pero no tienen el mismo nivel porque el profesor tiene una historia, una experiencia y un conocimiento. En ambos casos habría un camino hacia el equilibrio.

C.F. Podemos enriquecer estas ideas distintas de equilibrio con dos palabras traídas de la biología: la homeostasis y la homeoresis. La homeostasis es el equilibrio estático y la homeoresis es el equilibrio dinámico. De un río, por ejemplo, no puedo decir que esté en equilibrio homeostático. En cambio de un lago sí. El río está en una homeoresis, es decir, en un correr equilibrado. Hay un politólogo italiano, Francesconi me parece, que habla en un sentido parecido de movimiento y de institución. Y esto me recuerda algo que una periodista me preguntó en una entrevista. Ella quería saber si, en mi opinión, Antanas tenía un movimiento o un partido. Yo le dije: “no, no es un partido, es un movimiento”. Y entonces me pregunta: “¿que diferencia hay entre movimiento y partido?” Yo le digo: “el movimiento es enamoramiento y el partido ya es amor”. Hay que distinguir el movimiento, que es el momento del desequilibrio, del partido, que es el momento de la conciencia de lo que se debe dejar y de lo que se debe instaurar.

Otro punto interesante que podría pensarse aquí, tanto en el partido como en la relación pedagógica en la escuela, como en el grupo de trabajo, es que habría que garantizar, por un lado, el equilibrio necesario para mantener el diálogo, para asegurar que todos aprendan de todos, para asegurar la universalidad de la pedagogía por decirlo así. Todos los discursos deberían ser significativos para todos pero, al mismo tiempo, deberían mantenerse las diferencias que aseguraran que vale la pena comunicarse. Debería haber diferencias internamente, desequilibrios. Cada uno podría ofrecerle al otro la oportunidad de reacomodar un concepto o de desequilibrar un punto de vista y eso sería ideal tanto en la relación pedagógica como en la vida social y en el partido.

C.F. La palabra que acaban de usar, “significativo”, debe referirse tanto al significado como al sentido, es decir al sentimiento. Hay que establecer la diferencia entre estas dos palabras. Dos frases pueden tener el mismo referente y, por lo tanto, el mismo significado, pero con sentidos distintos. Es como cuando se habla del lucero de la mañana y de la estrella de la tarde. El significado es único: el planeta Venus. Pero el sentido poético o estético es diferente. No es lo mismo hablar en prosa que hablar en poesía.

Si, la metáfora, por ejemplo, podría interpretarse en términos del significado literal de las palabras. Pero el sentido de la metáfora es lo que hace la poesía. Uno podría decir entonces que el hecho de que las cosas no tienen sólo significado sino también sentido es lo que hace posible verlas de modos distintos y aprender siempre de ellas.

C.F. Sí señor. Las palabras tienen un significado, pero su sentido es inagotable, uno dice, por ejemplo, “mujer”; hay un significado: sexo femenino. Pero ¿cuantas páginas no se han escrito sobre la mujer? Y siempre es la mujer… ¿cuántas mujeres hay, entonces?

Y uno podría decir que la pedagogía debería apuntar más allá del significado, a abrir el sentido. Y esto nos llevaría a otra cosa, al vínculo entre la ciencia y el arte. La ciencia aspiraría a definir territorios en los cuales el significado sea más o menos preciso, pero la dinámica del conocimiento tal vez le debe mucho al sentido, le debe mucho a la intención.

C.F. Me atrevería entonces a decir lo siguiente: la ciencia habla de significado, el arte y la religión hablan de sentido.

A propósito de esto, el profesor ha dictado un curso que se llama Arte y Conocimiento. Por qué no nos dice de qué trataba este curso.

C.F. La finalidad de este curso era mostrar cómo se liga el significado matemático a un sentido de tipo pragmático. Hacer ver que los números evidentemente pueden ser fríos para un matemático que está repitiendo un curso; pero en el momento en que se empieza a ver surgir un mundo de números como los cuaterniones o los números complejos, entonces ya es otra cosa. Aquí evidentemente ya interviene la estética, interviene el sentimiento. Los matemáticos, los físicos, los biólogos, los científicos son finalmente creadores de mundos.

Lo cual quería decir que aunque, aparentemente, el discurso de la ciencia es un discurso instalado en el significado, el proceso de construcción de la ciencia

C.F. … Sigue dentro del sentido.

Siguiendo con el vínculo entre el diálogo y la pedagogía, podríamos preguntarle qué piensa sobre los grupos de trabajo que en los últimos tiempos han estado construyéndose alrededor del profesor.

C. F. Después del grupo que quiso llamarse Grupo Federici, en donde trabajamos juntos, se formó el grupo de Ángela María Robledo, María Eugenia Orozco, Rocío Abello y Masatoshi Hayakawa. Comenzó porque Ángela María trajo a sus compañeras y Masatoshi se unió más tarde. Yo conocí a María Eugenia en la década del setenta, cuando ella iba a una clase que daba yo sobre Arte y Conocimiento en la Pedagógica. Ángela María vino a una serie de charlas que yo hacía, precisamente sobre Aritmética, en el Colegio Italiano. Allí nos conocimos. En el grupo se empezó a hablar, no de Aritmética sino de lo que me preocupaba a mí que era la cuestión de la Lógica. Ellas también pensaban que era conveniente entender un poco en qué consiste la Lógica Moderna. Y fue un curso larguísimo, duró más de un año. Porque yo estaba buscando también. No era algo como un curso, donde yo enseño lo que sé. Yo no estaba sólo hablando de lo que sé, sino de lo que yo, fundamentalmente, sabía que no sabía. Y era la cuestión de la y. ¿Qué es la y? Sólo después de haber publicado el cuadernillo sobre Arquitectura Matemática de la Lógica de las Proposiciones Categóricas empecé a sentir que estaba dando en el clavo; cuando pensé sobre el significado lógico de la y. Porque la y tiene como significado la coverificabilidad. Yo no puedo decir algo como: “dos más dos es igual a cuatro y la nieve es blanca”. Esta es una extraña proposición de Hilbert que ha maravillado a todos los matemáticos de un siglo. Pero ¿qué significa la y en este caso? Porque dicen: “Es una conjunción”. “Es un pegante”. Sí, ¿pero qué pega? Entonces, finalmente, me di cuenta que hay que definirlo como coverificación. Dos proposiciones verdaderas se unen con la y cuando han sido coverificadas, y coverificadas significa aquí verificadas simultáneamente dentro de una sola teoría. Este significado se ve muy bien cuando se pasa de las proposiciones categóricas a las condicionales. Así: cuando se resuelve un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, la solución verifica simultáneamente la primera ecuación y la segunda. Aquí la y corresponde a buscar los valores que verifican simultáneamente, es decir, que coverifican, las dos ecuaciones. Cuando Hilbert dijo que dos más dos es cuatro y la nieve es blanca estaba conectando con la y dos proposiciones que no están dentro de la misma teoría. Hilbert incomodó a la lógica italiana o, más bien, a lo que era la lógica italiana en el momento en que vivía yo allá como estudiante. Posiblemente había otros profesores de lógica que hubieran hecho que yo me enamorara de la lógica desde ese tiempo, pero el profesor de Padova que me enseñaba lógica, y que era un coetáneo de Peano, me hacía clases de lógica donde la lógica no era muy bonita. Él escribía en el tablero y luego tachaba. Borrador y tiza, borrador y tiza... ¡parecía un boxeador!. En el grupo de Angela María estudiamos lógica y de ese grupo salió el texto sobre arquitectura matemática de la lógica de las proposiciones categóricas. Es un grupo que sigue funcionando, pero ya es moribundo. Y tal vez es moribundo porque a mí lo que ahora me interesa trabajar es lo que no conozco yo bien. Es la cuestión del deber ser. A mi manera de ver tenemos que investigar dos mundos: el mundo del ser que conocemos gracias a las ciencias y el mundo del deber ser que debe vivirse y no sólo investigarse.

Usted tiene varias preocupaciones alrededor de lo innato. Ya hemos hablado de la lógica y hemos recogido el significado de la y. La otra parte de sus preocupaciones sobre el tema de lo innato está en el campo de la Música.

Pitágoras encontró la forma como se construyen las notas. A partir de una nota, se construyen las octavas, las quintas y las cuartas. A partir de estas nuevas notas podríamos reiterar el procedimiento encontrando las quintas de las quintas, las cuartas de las cuartas y así sucesivamente. Si el oído humano fuera perfecto, el número de notas podría ser infinito. Como no es perfecto, es posible que una quinta se acerque demasiado a una cuarta, de modo que no se pueda percibir la diferencia entre ellas. En el afinamiento progresivo el oído llega a construir escalas de 5, 7 y 12 notas (escalas occidentales), 17 notas (entre los árabes) y 22 notas (en la India). Averiguar por qué el número de notas es éste me llevó a buscar una potencia de 3 muy cercana a una potencia de 2 con exponentes enteros y encontré que los exponentes de 3 que resuelven esta casi ecuación son precisamente el 5, el 7, el 12, el 17 y el 22.

Profesor, ¿usted desarrolló el gusto por la música desde la infancia?

C.F. Pasé mi infancia y mi juventud en Sestri Ponente, cerca de Génova. Era un pueblo pequeño pero importante a causa de sus grandes astilleros. Allí se construían grandes barcos italianos. Era entonces esencialmente un pueblo de obreros y de empleados. Empleados de todos los órdenes, del más bajo al más alto. En el pueblo había dos bandas municipales muy buenas, que ganaban incluso premios en encuentros internacionales. Y allí, una o dos veces por semana, en la plaza grande del pueblo tocaban y mi papá me llevaba. Como él era clarinetista y ducho en cuestiones de música, me explicaba la manera de sentir. A partir de esas audiciones empecé a saborear las obras… Eran, en general, obras de tipo operático. Especialmente ópera italiana, pero también alemana, mucha ópera alemana, y francesa. Luego, cuando me enamoré de mi mujer, Iole Celle Krems, ella tocaba piano y me daba placer oír cuando tocaba la música que a mí más me gustaba. Era música de Chopin y de otros compositores románticos. Cuando nos casamos y nos fuimos a vivir a Génova, donde había salas de teatro para ópera y para conciertos y también muchos grupos musicales, podíamos escuchar conciertos cada semana y afinarnos más en el sentir la música.

Claro, en esa época prácticamente no se podía escuchar música sino en vivo…

C.F. Bueno, recuerdo que mi hermano mayor tuvo que viajar alguna vez a Turín, por asuntos de trabajo, y trajo un gramófono. Regresó a casa hacia la media noche y estuvimos hasta el amanecer oyendo discos. Esto era en mil novecientos trece o catorce. Yo tendría unos siete años, creo. Durante muchos años, con el gramófono, vivimos el milagro de oír cantar en la casa, la Flauta Mágica, por ejemplo, y otras óperas… Además, el gramófono me sirvió mucho para otras cosas. Lo desarmaba y lo armaba, para ver cómo funcionaba. A mí me gustaba deshacer y rehacer los juguetes. Arreglaba también la máquina de coser de mamá. Cuando algún aparato fallaba, era yo el que arreglaba los mecanismos.

Sigamos con el tema de los grupos. Ahora se ha acercado al profesor un grupo de jóvenes estudiantes de la Universidad Nacional, inteligentes y entusiastas que primero se autonombraron Grupo Federici 2 y luego vinieron a pedirle permiso y a ponerle trabajo. En ese grupo hay muchachos apasionados con las propuestas lógicas del Profesor...

C.F. Es un grupo muy bueno. A estos muchachos yo los siento, y siento que sienten. Es un grupo que trabaja con entusiasmo. Y la palabra entusiasmo significa que Dios está en uno. Estoy pasando ratos muy buenos con ese grupo. Es distinto trabajar en la clase a trabajar aquí, en esta mesa. Es un espacio pedagógico especial, muy productivo, porque es un espacio de diálogo, donde, como decía, se puede sentir el grupo. Es que todo acto educativo tiene que ver con el sentir. No sólo con el entender y el comprender sino con el sentir. Y, evidentemente, en una reunión donde hay diez personas, uno logra, se diría, “sentir el pálpito”. Esa es la gran diferencia entre una educación en grupo y una educación en cátedra. Precisamente, a propósito de eso, cuando yo hablé con el cónsul de Colombia en Italia sobre mi venida al país, él me preguntó sobre las costumbres que yo tenía cuando dictaba clase. Yo le dije que me paseaba entre los pupitres y él me dijo: “Si usted va allá tiene que sentarse en la tarima y dictar su curso”. Yo le dije: “Entonces yo no voy”. Cuando llegué aquí, me paseaba a veces con los profesores y en general con los alumnos del grupo que tenía. Nos llamaban los locos. Eramos “el local”. El local Federici. Porque yo paseaba con los alumnos. Esto hay que decirlo. Significa que la costumbre era que el profesor estaba aquí, en la tarima, y los estudiantes estaban allá, abajo. Entonces ¿qué pálpito podían tener así los alumnos en un Cálculo Integral? Para gozar, de amoroso, no tiene mucho el Cálculo Integral; pero se puede, por lo menos, sentir algo ¿no? La diferencia entre la cátedra y el grupo de trabajo tal vez tiene que ver un poco con la política, con el arrastre de una plaza. Ese es el peligro que algunas veces puede tener la cátedra.

El profesor tiene observaciones críticas sobre la enseñanza de las matemáticas...

C.F. Sí. Yo creo que se debería decir pan al pan y vino al vino. Empezar por decir que no enseñamos Matemática. Lo que estamos enseñando es un poquito de manipulación de números. Una técnica aritmética. La Matemática está en el cielo. Si se empieza diciendo “esto es Matemática”, estamos diciendo que empezamos por lo más abstracto que hay. Pero empezamos como ha empezado el hombre primitivo, a construir, a crear los números o a encontrar los números en su quehacer cotidiano. Antes de los primeros matemáticos estaban los mercaderes, los arquitectos y en general aquellos que se ocupaban de contar objetos y de medir magnitudes físicas. Y la técnica es meter la mano en la masa y encontrar cómo se deben manejar las cosas. Es decir, nosotros lo que vamos encontrando son las leyes que rigen nuestro quehacer con el mundo, con el mundo natural. Entonces debemos ser un poco más humildes. No decir: “enseñamos Matemática” cuando estamos enseñando a manipular números o figuras geométricas, es decir, la técnica numérica de hace tres o cuatro mil años y la técnica geométrica de hace más de dos mil años. No estamos trabajando en verdad con objetos matemáticos. La matemática resulta de una continua y alta abstracción. La última abstracción es la que hace el matemático. El físico habla del vector velocidad, del vector aceleración, o fuerza, o campo eléctrico, pero el matemático habla de vectores en abstracto. Un mundo se reduce para él a una sola cosa. Nosotros reaccionamos a las regularidades. Y decir regularidad significa ya decir concepto. ¿Qué es un concepto? Es una regularidad. Hacemos representaciones de las regularidades, hacemos homografías y representaciones de representaciones, homografías de homografías.

Hay una relación entre esto que plantea el profesor ahora y lo que nos estaba diciendo antes sobre proceso pedagógico, en el sentido de que es necesario, primero, apropiarse en la práctica a través del manejo de lo concreto y luego pasar a la abstracción de la matemática.

C.F. Ni siquiera en los últimos años de universidad, uno puede decir: “Aquí, en esta hoja, está lo que quiere saber”. Cuando se llega a los espacios de Hilbert, hay toda una historia que lleva eso. Se trataría de una forma de hacer la historia para que sean ellos quienes digan: “Bien, hay que crear un espacio de infinitas dimensiones”. O una cosa de ese estilo. Se trata de que los estudiantes lleguen a eso, que sientan la necesidad de la creación de un mundo. La educación consiste precisamente en hacer que en la cabeza de un niño suceda la creación o la recreación del mundo en que viven o van a vivir. En eso consiste la resolución de problemas que yo enseño. Para resolver los problemas que se refieren a las magnitudes y a sus medidas primero se determinan las relaciones entre la magnitud incógnita y las magnitudes conocidas y luego se hacen los cálculos entre las medidas en el orden inverso al que se sigue en el establecimiento de las relaciones. Cuando se hace el diagrama de operaciones con las variables se obtiene un árbol que es la imagen especular del diagrama de las relaciones entre las magnitudes. Estos diagramas tienen figuras similares a las del diagrama de las florescencias de la begonia. Cuando yo veo la analogía entre las plantas y el diagrama de los razonamientos siento que estoy mirando el cerebro. Sobre estas cosas le escribía a Rodolfo Llinás que creo que hay dos circuitos en el cerebro: uno analítico y el otro sintético; de uno, muchos y de muchos, uno. El respondió que estaba de acuerdo, que es así como trabaja el cerebro. Es analítico y sintético. La comprensión de la cual se habla mucho es ésta. Es importante que el niño piense, que descubra el proceso antes de ponerse, de golpe, a calcular. Lo he visto con estos muchachos del colegio a quienes les he hecho ver cómo resuelven los problemas antes de calcular y dicen: “Así lo hago yo”. Entonces les pregunto: “¿Por qué no lo escribió?”.

Pensemos en la infancia del profesor. En su casa, ¿alguien tenía interés por la matemática?

C.F. En la familia, mi hermano mayor sabía hacer cuentas porque era contabilista de una firma grande, constructora de vagones para las ferrovías del Estado. El me ayudaba con las matemáticas. Con su ayuda pude entender problemas que solo tal vez no habría entendido. Otro hermano era diseñador y trabajaba en una firma que tenía que ver con la construcción de embarcaciones. Traía a casa planos en unos papeles grandes. En la casa todos trabajaban. Y yo, que era casi el menor de los hermanos (había sólo una hermana menor que yo), pude estudiar porque mis hermanos y una hermana trabajaban para costearme los estudios. Como ellos trabajaban también para mí, entonces yo tenía el problema de la reciprocidad. A mí me parecía que tenía que esforzarme al máximo… Creo que allí empecé a trabajar, a nivel inconsciente, esta cuestión

¿El profesor era estudiante juicioso, estudiante dedicado?

C.F. Sí. Me gustaban sobre todo la Biología y la Física. Con uno de mis hermanos, cuatro años mayor que yo, rehacíamos los apuntes de los cursos que dictaban los profesores. Eran apuntes muy bien hechos, con figuras a mano. Todavía recuerdo que él hizo en el cuaderno la figura bellísima de los cuatro caballos tratando de separar los hemisferios de Magdeburgo. El sabía dibujar bien. Más tarde hizo estudios para ser capitán de navío; empezó a navegar pero, en un viaje que hizo de Génova a Nueva York, se quedó en Nueva York por algunos años. Allí aprendió inglés y luego se graduó en lengua inglesa en la Universidad de Turín. El fue mi profesor de inglés. También le gustaba la filosofía a morir. Los dos, cuando éramos muchachos, discutíamos sobre lo divino y lo humano. Recuerdo todavía una discusión que tuvimos sobre los gemelos. Yo decía, por mucho que se asemejen y que compaginen dos gemelos, a veces basta una cosita que uno conoce y el otro no para establecer la diferencia.

¿Cuántos hermanos tenía, profesor?

C.F. Éramos cinco hermanos y cuatro hermanas, pero dos de mis hermanos murieron precozmente. Una de dieciséis añitos, porque en ese entonces cualquier enfermedad podía ser fatal. Hubo una ocasión, cuando yo tenía como seis o siete años, en que todos en la casa tuvimos tifo. Y la mamá, de pie, pasaba de un cuarto a otro atendiéndonos a todos. Era una familia unida. Almorzábamos todos juntos y comíamos el pan que se hacía en la casa. El hermano mayor, Tito, era el que leía el periódico en la mesa. Los grandes discutían las noticias y nosotros, los pequeños, a callar. Sí, era una familia, yo diría buena, con defectos, seguramente, pero defectos que provenían de la situación política. Durante la primera guerra mundial los tres hermanos mayores tuvieron que ir al frente. A uno lo devolvieron los austríacos porque era tuberculoso. Pero antes, en mil novecientos once, al hermano mayor le tocó la guerra de Italia contra Libia. Tuvo que viajar a Trípoli y luego regresar como soldado. Luego, desde el dieciocho, empiezan los escuadrones fascistas. Y Sestri, que era un pueblo obrero, estaba en manos del socialismo, completamente. Entonces empezaron las confrontaciones.

Quizás el profesor pueda recordar sus primeros contactos escolares con la Matemática…

 

C.F. Sí, pero realmente no era Matemática, era una técnica numérica y geométrica. Insisto en que no debemos abusar usando la palabra Matemáticas. El manejo de los números debe tomarse siempre en su nivel. Se trata precisamente de una técnica, no de la Matemática. Como en tercero de bachillerato teníamos un curso que, traduciéndolo al español, podríamos llamarlo “computistería”, técnicas de cómputo, manipulación de números desde el punto de vista de los bancos, del cambio de moneda, del cálculo de intereses y cuestiones de este estilo. Era un curso que permitía a un muchacho tener un empleo a los quince años, sabiendo ya manipular cosas de ese tipo. Yo diría que mi primer contacto con la matemática, en el sentido riguroso de la palabra, se dio con la Geometría. Fue algo muy bueno porque hicimos las cónicas según Apolonio. Discutíamos las secciones de cono y muchos problemas que tenían que ver con el estudio cuidadoso de la ecuación de las curvas. Luego, en el bachillerato superior, tuve un profesor que nos hizo la teoría de los números reales a palo seco. Yo no entendía nada. Pero nos la hizo estudiar. Era un profesor loco a morir. Siempre iba contra las compañeras. Recuerdo que hice una cosa que casi me cuesta la expulsión de la escuela. Un día se acercó a la primera fila donde se sentaba una compañera, una muchacha bonachona, angelical, muy bella pero gordita. Se va acercando con la mano levantada y le dice: “Se mi continua a guardare così, la prendo a schiaffi” - Si me sigue mirando así, la agarro a bofetadas-, y le puso una anotación en el libro de registro. Cuando se fue el profesor yo tomé el registro y ¡prac! le di contra el pico de la mesa … y el pico entró en el registro. Luego lo cerré y lo dejé ahí todo roto. Y no me hicieron nada. Mi palabra. Después de poco tiempo, al profesor lo echaron del colegio. Pero fuera de estas experiencias escolares. Yo diría que sentí lo que es la Matemática cuando recibí, en primer año de universidad, en la carrera de Física, un curso de geometría proyectiva. Ahí vi que la Matemática es una cosa bella.

Profesor, ¿recuerda profesores que lo hayan impactado por lo bien o por lo mal que hacían su trabajo?

C.F. Por lo mal que lo hacía me impactó el profesor de Biología en el colegio. Lástima, porque me habría gustado hacer Biología. Pero este profesor tenía un cuaderno y daba a leer el cuaderno a un alumno. Se sentaba sobre la mesa y hacía leer los apuntes. Luego, cuando sonaba el timbre, se bajaba, cerraba el cuaderno y se iba. ¡Una, una cosa tremenda!. Y luego hacía exámenes escritos. Un día preguntó sobre la manera de producir sonidos de los insectos, entonces yo le escribí en una hoja aparte una composición larguísima porque la había preparado con ayuda de una enciclopedia que había comprado mi hermano mayor. Y el profesor me dice: “Esto yo no lo leo. No es lo que vimos en la clase”. Y me puso siete. Yo esperaba diez. ¡Qué tal! Me indignó. Lo bueno fue un profesor de Matemática que trató previamente la cuestión de las cónicas y hacía mucha discusión de problemas. Era además muy preciso al escribir en el tablero y al explicar. Recuerdo que una vez nos dio un problema para resolver en un examen. En algún momento se me acerca y mira lo que yo había escrito. Yo no había escrito casi nada. No entendía el problema. Entonces dice: “Cierren todo. Este examen no vale”. Entonces comprendí que tenía sentido de humanidad. En lugar de ensañarse, probablemente se dijo: “bien, si usted no puede, tampoco los demás, entonces…” Otro buen profesor que tuve en el colegio fue el de francés. Era un profesor corso, por lo tanto, italiano de nacionalidad.

Y era amante de la lengua francesa; había escrito y publicado toda una antología para dar las clases. El sí era en verdad un señor profesor de francés. Y nos hizo amar a los poetas franceses, sobre todo a los románticos. He vivido una época de pleno romanticismo. Y me parece trágico que hoy en día el romanticismo ya no cuente. Yo recuerdo, por ejemplo, el trato que teníamos con las compañeras. No nos tuteábamos. Nos tratábamos de “Lei” –ustedy por el apellido, no el nombre: “Lei Bertiti”–usted, Bertiti- ; era Yolanda, pero nos dirigíamos a ella como “Lei Bertiti.

Profesor podríamos hablar sobre el gusto por el trabajo académico. ¿Cuándo recuerda el profesor que sintió placer resolviendo problemas y estudiando por su cuenta o discutiendo? ¿Tenía grupos de compañeros con los cuales trabajaba?

C.F. Con compañeros de la universidad yo hacía todos los ejercicios de cálculo que nos asignaban. Teníamos un profesor de Cálculo y un asistente que hacía los problemas. Casi siempre pasaba yo y resolvía los problemas; de manera que los alumnos eran más alumnos míos que del asistente. El asistente dictaba dos o tres horas a la semana. Yo resolvía problemas mientras estaba el asistente y luego dos horas más cuando él se iba porque había compañeros que todavía no entendían y yo repetía y repetía.

En este recorrido que hemos hecho sobre su trabajo académico inicial, llegamos a un momento en el cual el profesor cambia de geografía, decide venirse al país. Quisiéramos preguntarle al profesor sobre el medio académico colombiano, ¿cómo encontró la universidad? Qué problemas encontró en el medio académico?

C.F. Bien, el primer grupo de alumnos míos fue el de los profesores de Matemáticas de la Universidad Nacional. Entre ellos estaban Otto de Greiff, Andrés Soriano y Gustavo Perry que fue un gran amigo para mí. Me ayudó mucho. Me enseñó a escribir bien en español, él me corregía todo lo que yo escribía. Todos ellos eran ingenieros y se ve que les daba gusto enseñar Matemáticas. De hecho, este grupo fue pionero en la enseñanza de la matemática en el país. Pero todos ellos se encontraban como en un círculo cerrado, porque enseñaban lo que a ellos les habían enseñado y no encontraban la manera de innovar en las clases que daban. Todos ellos sentían la necesidad de ponerse al día. Pablo Casas Santofimio, que en aquel momento era todavía estudiante, me ayudó a valorar mejor esta situación. El fue también uno de mis primeros alumnos, junto con Luciano Mora y con José Nieto. Hizo una indagación sobre los libros de matemáticas que existían en la biblioteca de ingeniería y encontró allí los mejores libros de, digamos, el siglo XVIII. Algunos usaban estos libros, pero usaban sobre todo unos apuntes y no habían podido librarse de ellos. Había entonces poca precisión, falta de las bases y poca lectura calificada. Entonces yo comencé a enseñarles a ellos una matemática más contemporánea. Empezamos con los números naturales, con una teoría de los naturales que ya se conocía y que ellos deberían conocer. Luego se creó la carrera de Matemáticas, dos o tres años después, por ahí en el 51 o 52, si no recuerdo mal. Yo daba clases de matemática, se diría, día y noche porque allí el horario era el que se acomodaba a los alumnos. Todos los cursos que podía hacer, los hacía. Con el primer grupo de la carrera trabajé muchos años, tal vez cinco. Fue algo muy especial, se trabajaba conversando y discutiendo y tratando un tema a la vez hasta agotarlo. Más adelante empezaron a colaborar profesores que vinieron de Francia y de Suiza. Yo dictaba lógica, cálculo, geometría proyectiva y ecuaciones diferenciales, pero al mismo tiempo estaba escribiendo mucho sobre física, precisamente sobre álgebra de las magnitudes. Más adelante vinieron a mis cursos Carlos Eduardo Vasco y Jorge Aurelio Díaz, aunque ellos eran de la Javeriana. Había otro grupo en el cual participé en aquellos años; era un grupo de Etnología que dirigía el Dr. Fernández de Alba. Con él íbamos los domingos a buscar precolombinos. Fernández de Alba fue de los grandes antropólogos de acá. Con los hijos de él, con el Embajador de Suiza, con José Nieto, con Luciano Mora, y con otros alumnos hacíamos reuniones. Pero con frecuencia se hablaba más de política que de etnias.

En un determinado momento el profesor comienza a dictar unos cursos que son bastante originales en otras facultades distintas de la Facultad de Ciencias. ¿Recuerda de qué cursos se trataba?

C.F. Comencé a dictar cursos también en Sicología. Dictaba y empecé a hablar sobre Piaget. A Piaget yo lo había comenzado a estudiar en Italia y creo que fui el primero en hablar de este autor aquí, en Colombia. Piaget me interesaba por sus aportes a la enseñanza de la matemática elemental. Luego, hacia 1958, el Decano de la Facultad de Medicina me invitó de tiempo completo para que preparara grupos de profesores de esa Facultad en Matemáticas y Física. Parte del tiempo trabajaba con profesores y parte con estudiantes. Mientras estaba en Medicina conocí a Rodolfo Llinás. El era estudiante de la Universidad Javeriana y estaba trabajando sobre la retina. En su universidad no había nadie que le pudiese ayudar; en la Nacional encontró a un neurólogo, el Dr. Hernando Rosas recién egresado de los Estados Unidos, con quien podía trabajar. Tuve que hacer para él un cursillo de lógica y empezar a trabajar sobre redes neuronales. Logré encontrar la ecuación relativa a la red que explica el reflejo condicionado de Pavlov y dibujar una red que explica de cierta manera el concepto de signo (relación entre palabra y cosa). Más adelante también di un curso sobre arte y conocimiento, enfocado en el sentido de la antropología filosófica, en la Facultad de Artes, siempre en la Universidad Nacional. En los setenta dicté un curso similar en la Universidad Pedagógica. Pero antes, en el 63, logré organizar en esa misma universidad un departamento de Pedagogía de la Matemática.

Luego viajé contratado por la UNESCO al Ecuador a colaborar en la Escuela Politécnica, en Quito. Allí di cursos de análisis superior, pero dictaba también, al mismo tiempo, cursos para los profesores de la Escuela Media.

Nosotros pensábamos que tal vez al profesor le interesara presentar muy sintéticamente sus ideas sobre los números de modo que pudieran ser comprendidas por personas que no son expertas en Matemáticas y que no lo han escuchado antes.

C.F. Pronto se debe lanzar un cuadernillo mío. El Gimnasio Moderno lo está haciendo. En el cuadernillo se habla de resolución de problemas y sobre la numerosidad. A mí parece que he visto lo siguiente: la numerosidad comprende siete tipos de números: los naturales, los enteros, los racionales, los reales, los complejos binarios, los complejos cuaternarios y los complejos octonarios. Pero ¿los números pertenecen a la Matemática o a la Física? Un matemático se deleita en encontrar teoremas y teoremas en estos siete sistemas. Al físico no le gusta buscar teoremas; a él le gusta usar los números para manipular otras magnitudes. Los números pertenecen a la Matemática como objetos de estudio y a la Física como objetos de uso. No es más la diferencia. ¿Nosotros estamos haciendo Matemática en el bachillerato o en la universidad o estamos haciendo física, mercadeo, ...? Esa es la pregunta que yo me hago en el cuadernillo, y digo que estamos en la segunda opción porque sólo son los grandes matemáticos quienes encuentran nuevos teoremas dentro de estos mundos. En la Matemática se trata de cosas como el teorema de Fermat. Este es el tipo de objetos que yo estudio si soy un matemático. No me interesa su aplicación. Mientras que en la Física yo los uso. La pregunta es: ¿Estamos enseñando Matemática o Física? (y aquí “Física” incluye mercadeo). ¿Qué estamos enseñando? Sólo podemos enseñar la Matemática propiamente dicha después del bachillerato. En verdad es eso lo que se está haciendo. Se enseña la Matemática no al nivel científico, sino al nivel técnico. Una técnica que tal vez es tecnología. Teoría, teoría propiamente dicha, yo creo que sólo se enseña dentro de la universidad. El matemático desnuda los números.

Podría ahora hablar de los números contadores y de los números operadores, nuevamente para quienes no saben matemáticas. ¿Qué significan esos nombres?

C.F. Hay dos tipos de números. Los contadores son el dos, el tres, el cuatro... Los pitagóricos decían que cero y uno no son números, y tenían la razón. Los números, estos números CONTADORES declaran el quanto, la cantidad de elementos de una clase, es decir, de un agregado. Dos ovejas, tres ovejas. Porque, una oveja no constituye un agregado; tanto menos ninguna oveja. Por este motivo, para los pitagóricos, cero y uno no son números. Pero cuando se hace teoría de clases, la intersección de dos clases debe ser siempre una clase. Y la intersección puede ser de uno o de ninguno. Entonces cero y uno adquieren ciudadanía numérica. OPERADORES son el doble de…, el triplo de ..., etcétera. El dosavo de…, el tresavo de ... (que sería una manera más propia de decir el medio de..., el tercio de...). Supongamos que la longitud de un segmento es el doble de la longitud de otro: si la longitud de uno es L, la del otro es 2L. El segundo tiene el doble de la longitud del primero. Se escribe dos, pero se debe leer el doble de... porque es un operador. Y la longitud del primero es el dosavo de la longitud del segundo; el inverso del doble. Así podemos llegar a las fracciones. Las fracciones son productos de estos números. Si escribo 3/2, debría leer: el triplo del dosavo, que es tres sobre dos. El dosavo es el inverso del doble. Y el inverso del inverso de dos es dos. De la misma manera que el inverso aditivo de dos es menos dos, y el inverso del inverso aditivo de dos es dos.

Otro punto, que también ha preocupado al profesor tiene que ver con el análisis dimensional.

C.F. La numerosidad es la magnitud física cero dimensional. Si yo tengo una longitud y la divido por una duración… obtengo una velocidad. Pero si tengo una longitud y la divido por otra longitud ¿Qué es? Es un número. Cuando se trabaja con ángulos, se dice que la amplitud no tiene dimensiones. Pero un ángulo es una figura, no es una magnitud. Entonces, no hay que confundir la medida de la amplitud con la amplitud misma. La amplitud es una magnitud como la longitud. Y eso nos lleva a que las magnitudes fundamentales de la Física son los números, luego están la longitud, el área, el volumen, luego están la duración, la velocidad, la aceleración, luego la masa, la fuerza, etecétera. Tendríamos entonces los números como una magnitud cero dimensional. Porque una longitud dividida por una longitud es un número. Pero un número entonces debe ser una magnitud, porque el cociente de dos magnitudes es una magnitud. De la misma manera que la clase vacía es una clase.

¿Qué relación cree el profesor que puede haber entre ese proceso de gestación de la Matemática y el proceso de aprendizaje de la Matemática? ¿Qué podríamos aprender de la historia? ¿Existe una homografía entre lo filogenético y lo ontogenético en la apropiación del conocimiento?

C.F. Es lo que hacen los niños cuando pintan casitas a mano libre. Están reviviendo en cierto sentido lo que hace cuatro, cinco, seis mil años hicieron los hombres cuando empezaron a construir cabañas y casas. Están jugando a la Arquitectura. Entonces el juego se vuelve más y más complicado porque primero lo hacen a mano libre y luego se le enseña a usar la regla, la escuadra y a trazar una casa. Es la técnica. Pero las definiciones más abstractas son las últimas que se dan. Cuando yo formalizo, es decir, cuando tengo ya veinte o veinticinco años y quiero saber Aritmética en un sentido muy fuerte de la palabra, en el sentido matemático, entonces yo empiezo a dar definiciones. Digo: “Ideas primitivas… tal cosa. Definiciones... tal otra”. Pero cuando se enseña a los niños no se dan definiciones. Allí en la técnica matemática hay reglas, pero las reglas deben ser descubiertas por los alumnos. Se deben poner en una situación tal que ellos vean, por ejemplo, que dos más tres es igual a tres más dos. Entonces ellos pueden decir: “Cinco más siete es igual a siete más cinco”. Y si el maestro pregunta: “¿Y A más B?” dirán. “Es igual a B más A”. Ellos ya lo saben, como regla, que pueden conmutar. Los niños van descubriendo las reglas que rigen la teoría, pero en la práctica. Y es importante que el niño sienta que ha descubierto algo. Pero lo que se aprende en la clase de Matemáticas no es de Matemática, es una técnica numérica, una Aritmética de nivel técnico.

Que debería ser ocasión para que los alumnos construyeran generalizaciones. No en la abstracción de la matemática, propiamente dicha, sino en el terreno de la técnica matemática. La tarea del maestro sería dar esa oportunidad.

C.F. Conducir al alumno. Lo es la pedagogía en el sentido etimológico de la palabra. Conducirlo por la mano en situaciones donde él redescubre lo que el hombre ya ha descubierto. Esto es fundamental.

Muy claro. Eso querría decir, de alguna manera que habría que relativizar… conceptos tales como evaluación.

C.F. Ah, qué tal, ya estamos en la tragedia. Un maestro, más que evaluar a los estudiantes, debe evaluarse él mismo. La evaluación no es evaluación de los alumnos. El maestro debe autoevaluarse en cada momento a través de lo que hacen los alumnos. Si yo no logro hacer entender qué es la y, el defecto está en mi cerebro, no en el cerebro de ellos. Significa que yo todavía no mastico bien lo que estoy enseñando. Este es el problema. Es el problema de Nietzsche, para saber hay que rumiar.

Tiene razón, profesor.

Pero me gustaría hablar de un problema que me parece fundamental. Es la cuestión del trascendente y del inmanente. Creo que estamos equivocados cuando queremos hablar de la inmanencia hablando primero de la trascendencia. Debemos ir de la inmanencia a la trascendencia, y no viceversa. Yo no puedo decir: “Hay un solo Padre, así, con P mayúscula, entonces debemos ser hermanos”. Sólo cuando nosotros sentimos que somos hermanos entonces podemos decir: “Sí, hay un solo padre”. El pecado mortal en Colombia y en todo el mundo es la religión de tipo dogmático, de tipo trascendente. Porque entonces yo, hombre, me adueño de lo trascendente y digo: “Yo tengo la palabra del trascendente, yo soy Dios”. Y estamos en la tragedia. No se debería decir:

“Está escrito. Ahora hay que interpretar”. Todavía no está escrito. Lo que somos nosotros, lo que debemos ser, nunca ha sido escrito. Nosotros vamos a decir: “Sería bueno hacer esto”, y nunca: “Está escrito que hay que hacer esto”. Los mandamientos son una cosa que no sirve para nada cuando los mismos que dicen que poseen el mandamiento escrito, son los primeros que lo niegan. ¿Usted recuerda la etimología de fraile? Viene de fraterno, de frater, de la raíz sánscrita BHAR transformada en BHRA: sostener, sustentar, nutrir. De BHAR-TR, el marido, quien sostiene y BHÂR-YÂ, la esposa, la que recibe sustento. Es decir, el necesitado y el que satisface la necesidad. En el momento en que nosotros seamos en verdad fraternos, entonces sentiremos que somos hijos de una misma madre y de un mismo padre. Sólo entonces se podrá decir que somos hermanos. Antes no. Antes de lo escrito está lo vivido.

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* Físico con estudios de Maestría en Filosofía de la Universidad Nacional. Profesor del Departamento de Física de la misma Universidad. Miembro del Grupo Federici de Investigación Pedagógica.

** Profesor Asociado del Departamento de Física de la Universidad Nacional y Miembro del Consejo Superior de la misma Universidad. Magister en Física de la Universidad de Illinois. Miembro del Grupo Federici de Investigación Educativa


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